子模

子模（英文：submodule）是模论的概念之一，其定义为：设M是一个R-模，N是M的一个 子集 ，如果N对于M的加法和M与R的数乘来说也构成一个R-模，则称N是M的一个子模，M称为N的扩模。

1871年， 德国 数学家理查德· 戴德金 （Richard Dedekind ）在出版的 狄利克雷 （P. G.L.Dirichlet）《数论讲义 第二版》中引进了 代数数 及代数整数的概念，在研究有理整系数 代数方程 的过程中定义了体（Körper），随后对有理整数的同余理论进行了推广，得出了模的概念，把模定义为：对加和减这两种运算均封闭的 实数 系或者 复数 系。在后期的代数数论工作中，戴德金以模代数为基础，在之后代数整数环的工作中阐述了理想的概念，得到了模的升链条件。 在库默尔（E.E.Kummer）、 戴德金 、 克罗内克 （L.Kronecker）等人对理想论的工作基础上，拉斯克尔（E.Lasker）在1905年发表的文章《模和理想论》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，首次定义了准素理想的概念，并把它作为模论的重要概念。 1921年， 艾米·诺特 （Emmy Noether） 在《环中的理想论》中进一步阐述了理想理论，在非 交换环 上定义了模的概念，证明了理想的一些分解结果可以转化到子模中以及理想的升链条件与模的极大条件是等价的。 在模论的发展过程中，模的直和分解是一个中心问题，并在20世纪得到了快速发展，它与子模有着密切的联系。 1932年，克鲁尔（Krull）证明了模直和分解的唯一性。 在 交换代数 当中，准素分解能够把一个 交换环 的理想或者模唯一地表示为准素理想或者准素子模之交，是 算术基本定理 的一个推广，可以用来研究 代数几何 的课题。

子模具有一些重要性质，如每个子模都有一个两个平凡子模；模 的任意多个子模的交仍为一个子模；子模的和构成的集合仍然是一个子模。 由子模可以定义商模和循环模 的概念。此外，还有一些具有特殊性质的子模，如有极大（小）子模、本质子模和多余子模等。 模的同态与同构以及直和等概念是模论的中心内容，可得出关于子模的相关定理。 在模糊理论中，模还可以推广到模糊集上，得到环 上的模 的模糊子模的概念及性质。

定义

模

设 是一个 乔治·阿贝尔 （Abel）加法群， 是一个有单位元 的环。如果 到 有一个映射： ，并且满足下列4条法则： ，有

；

；

；

，

那么称 是环 上的一个左模或一个左 -模。

当上述4条法则的乘法运算一次 交换律 ，即 ，类似地，可验证 成为一个右 -模，则称 是一个 -模。

子模

设 是一个 -模， 是 的一个 子集 ，如果 对于 的加法和 与 的数乘来说也构成一个 -模，则称 是 的一个子模， 称为 的扩模。若 是 的子模，且 ，则称 为 的 小室真子 模，模 的所有子模组成一个格。

简史

早期研究

1871年， 德国 数学家理查德· 戴德金 （Richard Dedekind ）在出版的 狄利克雷 （P. G.L.Dirichlet）《数论讲义 第二版》中引进了 代数数 及代数整数的概念，在研究有理整系数 代数方程 的过程中定义了体（Körper），随后对有理整数的同余理论进行了推广，得出了模的概念，把模定义为：对加和减这两种运算均封闭的 实数 系或者 复数 系。在后期的代数数论工作中，戴德金以模代数为基础，推广了可除性理论，得到素数和单元的概念，并在之后代数整数环的工作中阐述了理想的概念，得到了模的升链条件。

在库默尔（E.E.Kummer）、 戴德金 、 克罗内克 （L.Kronecker）等人对理想论的工作基础上，拉斯克尔（E.Lasker）在1905年发表的文章《模和理想论》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，首次定义了准素理想的概念，并把它作为模论的重要概念。 后来， 艾米·诺特 （Emmy Noether） 在前人的影响下，于1921年发表的论文《环中的理想论》中，阐述了理想理论中的大部分概念，在非 交换环 上定义了模的概念，并证明了理想的一些分解结果可以转化到子模中以及理想的升链条件与模的极大条件是等价的。

后续发展

在模论的发展过程中，模的直和分解是一个中心问题，并在20世纪得到了快速发展，它与子模有着密切的联系。 1932年，克鲁尔（Krull）证明了模直和分解的唯一性。50年代左右，卡普南斯基（Kaplansky）证明了若模 是可数生成子模的直和，则 的直和项也是可数生成子模的直和；随后沃克（Walker）进一步指出，对于无穷基数 ，若 是 生成子模的直和，则 的直和项也是 生成子模的直和。

在 交换代数 当中，准素分解能够把一个 交换环 的理想或者模唯一地表示为准素理想或者准素子模之交，是 算术基本定理 的一个推广，可以用来研究 代数几何 的课题。 1986年，麦卡斯兰（R.L. McCasland）和 摩尔 （M.E.Moore）通过素子模的交引入了子模的 -根，将理想的根论推广到模上。 1992年，詹金斯（J.Jenkins）和史密斯（ 大前锋 Smith）在《关于交换环上模的素数根》(On the prime radical of a module over a commutative ring）中定义并讨论了模的素根；2003年，迪莱克（P.Y.Dilek）在《关于有限生成自由模的素数子模》(On prime submodules of finitely generated free modules）中研究了交换整环中有限生成自由模的素子模。之后，尹华玉等学者在《GV-理想与素子模》中进一步探讨了这些结果。

举例

例1 把任一交换群 看成 -模。于是， 的非空子集 是 的子模 是交换群 的子群。

例2 设 为有恒等元素的环。令 着成环 上的左模。于是， 的非空子集 是 的子模 是环 的左理想。

例3 令 ，按通常的运算方法， 做成整数环 上的模。

取 只有有限个 ； 为固定的 自然数 ，那么 与 都是 的子模。

例4 对任一 -模 ， 。 子集 是 的子模。

例5 设 是域 上的线性空间。 是 的一个取定的线性变换。那么

(1) 的一个非空子集 是 -模 的一个子模 是线性空间 的一个子空间。

(2) 是一个由 导出的 多项式环 上的左模。那么， 的一个非空子集 是 -模 的一个子模 是线性变换 的不变子空间。（ ）

特殊子模

极大子模

定义： 若 是 模 的真子模，并且不存在严格包含 的 的真子模，即若 是 的真子模，且 ，则一定有 成立，则称 是 的极大子模。

定理 ： 如果 模 是有限生成的，则 的每一个真子模均含在 的一个极大子模内。

推论： 每个有限生成模 有极大子模。

极小子模

与极大子模是互为对偶的概念。若 是 模 的子模，并且若 是 的非零子模，且 ，则一定有 ，则称 为 的极小子模。

本质子模

定义： 本质子模亦称大子模，设 是 -模， 是 的子模，如果对于 中任意子模 ，那么 叫做 的本质子模。

本质子模具有传递性，即：若 是 的本质子模， 是 的本质子模，则 也是 的本质子模。

多余子模

多余子模亦称小子模，是本质子模的对偶概念。设 是 模 的子模，若对 的子模 ，由 可得出 ，则称 为 的多余子模。记为 。

性质

子模具有以下一些性质：

1.每个子模 有两个平凡子模，一个是零模 和另一个是 自己；

2.模 的任意多个子模的交仍为一个子模；

3.模 中有限多个子模 之和， 仍是 的一个子模。

衍生概念

商模

设 为 -模 的一个子模。 作为 的一个子群，是 的正规子群，作商群 ，仍是一个交换群。在自然的方式下规定 在 上的作用，设 为 的任一代表，规定 ，这个定义与 的代表的取法无关。设 为 的任一代表，则 。因而 ，易知此作用满足模的定义中的4个条件，于是 成为一个 -模，叫做模 对子模 的商模。

循环模

定义： 设 是 -模 的一个有限 子集 ，则称 为有限生成子模， 叫做 的一组生成元素，简记作 。当 时，就说 是有限生成模。特别地， 时，则称 为 的循环子模。而当 时，称 是循环模。

性质： 模 是循环模的充分必要条件是 ，其中 为环 的一个左理想。

相关概念

模同态与同构

设 和 为两个 -模，若存在 到 的一个映射满足：

(1) 是一个群同态；

(2) 。

则 叫做 到 的一个模同态或 -同态。若 是 到 的一个一一对应，则 叫做一个模同构。

模的直和

设 为同一个环 上的模，作加法群 的直和 ，然后规定 对 的作用： ，对于 ，则 成为一个 -模。 叫做 -模 的 直和，简记作 。

相关定理

模同态基本定理

设 为 -模 到 -模 的一个模同态，则 和 分别是 和 的子模，而且 诱导出模 同构 ，使得 。

模同构定理

第一同构定理

设 和 为 -模， 为 满同态， 令 为 的子模，且 那么，映射 是一个 - 同构 。

第二同构定理

设 是 -模， 与 都是 的子模，那么商模 与 同构。

第三同构定理

设 为 -模。 与 都是 的子模，且 那么商模 与 同构 。

模直和的特征

定理 1： 设 和 为两个 -模，而且 是 个 -模 的直和，如果存在 的子模 到 的模同态 ，则 可以唯一地开拓成模同态 ，使得 满足 。

定理 2： 设 为一个 -模且包含 个子模 ，满足：

(1) ；

(2) ；

则存在模 同构 使得 。

定理 3：

(1)若 -模 是子模 的直和，而且每个 又是子模 的直和，则 是子模 的直和；

(2)若 -模 是子模 的直和，令 ，则 是 的直和；

(3)若 -模 是子模 的直和，令 ，则商模 和 成模 同构 。

推广

模是代数学中一个重要代数结构。1975年，内戈伊塔（C.V.Negoita）与拉莱斯库（D.A.Ralescu） 在《模糊集在系统分析中的应用》(Application of fuzzy sets to system analysis）中第一次给出了环 上的一个模 的模糊子模的概念，后来，拉结神·库马尔（Rajesh Kumar）等人从经典模论给出的性质，将其模糊化，并给出了模糊子模的一些重要性质。

模糊子模

定义

设 是环， 是一个左 -模， 。若对任意的 ，任意的 ，恒有：

；

；

则称 是 的一个模糊子模。 上的全体模糊子模所成集合记为 。

性质

1.设 是环， 是一个左 -模， ，则以下命题等价：

(1) ；

(2) ，有 ；

(3) ；

(4) 。

2.设 是环， 是左 -模， ，则 是 的模糊子模，且 ，有 ；

3.设 是环， 是左 -模， ，则 ；

4.设 是有单位元的 交换环 ， 是 自己上的模，则 -模 的模糊子模是环 上的模糊理想；

5 设 是左 -模， 是 的模糊子模。若 是交换环，则 ， 是 的模糊子模，其中 。