自由模（英文：free 模组 ）， 是模论的基本概念之一，其定义为：设R是一个有 单位元 1(≠0）的 交换环 ，若M是一个R-模，且R模M有一基，则M叫做一个自由R-模。
环与模的关系密切，将一个域上的 向量空间 概念加以推广，可得到环上模的概念。 早在19世纪， 德国 数学家 狄利克雷 （Dirichlet） 就考虑过 多项式环 上的模，但当时并没有模的概念。直到1871年，德国数学家 戴德金 （Dedekind）在出版的狄利克雷《数论讲义 第二版》上对有理整数的同余理论进行了推广，提出模的概念并首先使用模的术语。 随后，许多学者对自由模与投射摸展开研究，1955年， 塞尔 （Serre,J.P.）提出著名的塞尔猜测；1958年，卡普兰斯基（Kaplansky,I.）得出结论：交换诺特 局部环 上每个有限生成的 投射模 是自由的。 而对于自由模的素子模，王芳贵和宋传宁等学者得出了有限自由模的素子模的结构 定理 和自由模的素维数等相关理论。
自由模具有一些重要性质，如若 为一个有 单位元 的 交换环 ， 是一个有有限基的自由 -模，则 的一个基所含元素的个数称为自由 -模 的秩。 特殊环上的自由模性质特殊，其在主理想 整环 上的性质与有限生成模的标准分解定理和不变量定理有关， 这些结论可以应用于有限生成模的构造。 在模论中， 投射模 是比自由模更一般的模，它与 平坦模 和自由模是刻画模范畴性质的重要概念，三者之间有着紧密关联。 自由模在现实世界中也具备应用价值，如在 密码学 中， 交换环 上的自由模可用于设计一个更为一般的完善的秘密共享方案。
定义
模
模的定义： 设 是一个 乔治·阿贝尔 （Abel）加法群， 是一个有 单位元 的环。如果 到 有一个 映射 ： ，并且满足下列4条法则： ，有
；
；
；
，
那么称 是环 上的一个左模或一个左 -模。
当上述4条法则的乘法运算一次 交换律 ，即 ，类似地，可验证 成为一个右 -模，则称 是一个 -模。
模的基： 设 为一个 单位元 的环， 为一个 -模，如果 的任一非空子集 ，使得
(1) 中每个元素 能表示成 中有限多个元素的 - 线性组合 ： ，其中
；
(2) 的任一有限 子集 是 -线性无关的，即从 可以推出 ；
那么称 是 的一组基。
自由模
定义： 若 模 有一基，则 叫做一个自由 -模。
一个模总是可以找到一组生成元，但不一定有基。例如，有限交换群作为一个 -模，则不是自由模。
简史
1871年， 德国 数学家理查德· 戴德金 （Richard Dedekind）在出版的 狄利克雷 （P.G.L.Dirichlet）《数论讲义 第二版》中引进了 代数数 及代数整数的概念，在研究有理整系数 代数方程 的过程中定义了体（Körper），随后对有理整数的同余理论进行了推广，得出了模的概念，把模定义为：对加和减这两种运算均封闭的 实数 系或者 复数 系。 1905年，拉斯克尔（E.Lasker） 在著作《模和理想论》(Zur Theorie der Moduln und Ideale）中，介绍了模和环的理想等概念，并在戴德金的基础上进一步发展了模代数。
环与模范畴的关系密切，将一个域上的 向量空间 概念加以推广，可得到环上模的概念，模范畴的性质主要由一些模类如 平坦模 、 投射模 、自由模、 内射模 等来刻画。 1955年，数学家 塞尔 （Serre,J.P.）提出著名的塞尔猜测是关于投射模与自由模的重要命题，后被奎伦（Quillen,D.G.）和 苏斯林 （Cycm,M.A.）得以证明，并给出了更强的结果：当环是主理想 整环 时，每个投射模都是自由模。1958年卡普兰斯基（Kaplansky,I.）得出结论：交换诺特 局部环 上每个有限生成的投射模是自由的。 后来，2003年，迪莱克（P.Y.Dilek）在《关于有限生成自由模的素数子模》(On prime submodules of finitely generated free modules）中研究了交换整环中有限生成自由模的素子模。 之后，对于自由模的素子模，许多学者对其开展了相关研究工作，得出了有限自由模的素子模的结构 定理 和自由模的素维数等相关理论。
举例
1. 对于任意一个正整数 以及实数域 ，所有 维实 向量 构成的集合 为一个自由 -模；
2.矩阵环 为一个自由 -模，它以 为一组基，它的维数为 ；
3. 多项式环 为一个自由 -模，它以 为一组基，它是无限维的；
4.采用标准记号，规定零模也为一个自由模，其生成集（基）为 空集 。
性质
1.设 为一个有 单位元 的 交换环 ， 是一个有有限基的自由 -模，则 的一个基所含元素的个数称为自由 -模 的秩。零模是自由模，规定它的秩为 。 （自由模的秩）
2.对每个含幺环 及每个非空集 ，总存在 上的自由 -模。 （存在性）
3.令 是非空集 上一自由模，则 也是 上自由模当且仅当存在唯一的 - 同构 ，使得 。 （唯一性）
4.设 为一个自由 -模， 为它的一基，设 为任一个 -模， 为 的任一个 子集 ，于是 映射 恒可唯一地扩充成 到 的一个 - 同态 。
推论： 设 为一个以元素 为基的自由模，则 ；
5.设 为一个交换幺环， 为一个自由 -模，则 的任意 两基 有相同的基数。
推论： 设 为一个交换幺环，若 和 成模 同构 ，则 ；
6.设 为一个自由 -模， 为两个任意 -模而且 是任意一个满同态，于是 到 的任一个模同态 恒可提升为 到 的一个模同态 使得 ，其中横行 表示 是 满射 。
推论： 设 是一个满的模 同态 ，若 是一个自由模，则存在 的一个子模 使得 。
相关概念
模的直和
设 为同一个环 上的模，首先作加法群 ，的直和 ，然后规定 对 的作用为： ，对于 ，则 成为一个 -模。 叫做 -模 的直和，可简记为 。
素子模
设 是 -模， 是 的 子模 ，记 ，则 是 的理想，且 当且仅当 。若由 能推出 ，或者 ，则 称 的准素子模或 -准素子模。当 时，准素子模 就称为素子模，或 -素子模。
特殊环上的自由模
首先给出扭模与无扭模的定义，它们描述了主理想 整环 上自由模的性质。
定义： 设 是一 -模，如果有 使 ，则称 中元素 称为扭元素；如果不存在 中非零元素 使 ，则 称为自由的。如果 中每个元素都是扭元素，则 称为扭模；如果 中每个非零元素都是自由的，则 称为无扭模。
主理想整环
定义： 有 单位元 的无 零因子 的 交换环 称为整环。如果 的每一个理想都是主理想，那么称 是一个主理想整环。
主理想整环上自由模的一些性质：
1.设 为一 主理想环 ， 为一自由 -模，秩为 。于是 的任一 子模 也是自由 -模，秩 ；
2.主理想环上无扭的有限生成模一定是自由模；
3.设 是主理想环 上一有限生成模，那么 无扭，因而是自由的；
4.主理想环 上任一有限生成模 都可以分解成它的扭子模 与一自由子模 的直和， 的秩是被 唯一决定的。 此外，该性质还可应用于构造一个有限生成阿贝尔群。
相关定理
有限生成模分解
有限生成模的标准分解定理
第一标准分解： 主理想环 上任一有限生成模 都可以分解成一自由 子模 与若干个循环 模的直和，即 ，其中 ， 为互不相伴的素元素，且 。 被 唯一决定，称为 的秩。
唯一性： 在第一标准分解 中，自由子模 的秩以及 的零化子组 是被 唯一决定的。
第二标准分解： 主理想环 上任一有限生成模 都可以分解成一自由 子模 与若干个循环模的直和，即 ，其中 ，且 。
唯一性： 在第二标准分解 中，自由子模 的秩与 的零化子组 是被 唯一决定的。
上述结论可以用于整数环 上有限生成模的构造： 设 为一个有限生成阿贝尔群，即 为一个有限生成 -模， 可以写成一个扭子模 和一个自由子模 的直和， 的秩是 的一个不变量，设 的秩为 ，则 。
设 为主理想环 上一个 秩自由模， 为它的一个子模，于是存在 的一基 使得 构成 的一基，而且 ， 除相差一个单位因子外由 唯一决定， 叫做 的不变量， 是 子模 的秩， 是商模 的秩， 是商模 的 不变因子 。
此外，上述 定理 的一个等价定理如下，它们说明了基与生成元的变换与矩阵的变换之间的关系。
设 为主理想环 上任一个 矩阵，则 等价于下列矩阵 ，
，
其中 不为零，且 。 除相差一个单位因子外由 唯一决定， 叫做 的 不变因子 ， 叫做 的标准形。
素子模
有限自由模的素子模的结构 定理 ： 设 是环 的 素理想 ， 是秩为 的自由 -模， 是 的一组 -基，那么 的属于素理想 的素子模的形式为 ，其中 是 上线性无关的元。
自由模的素维数： 设 为环 上的有限自由模，则自由模的素维数计算公式为 。
推广
投射模
定义： 设 是左 -模，若有左 模 使 同构 于自由 模，则 称为投射 模。
投射模与自由模的关系：
1.自由模一定是投射模，当环 是主理想 整环 时，每个投射模都是自由模；
2.域 上的 多项式环 是主理想整环，那么 上的每个有限生成的投射模都是自由模；
3.交换诺特 局部环 上每个有限生成的投射模也是自由的。
4.投射模可看成是自由模的推广，类似自由模，每个模都是投射模的 同态 像。
此外，对于右 -模有类似的定义与性质。
平坦模
定义： 右 -模 称作平坦的，如果对于每个单同态 ，其诱导 -同态 也是单同态。类似地，可定义平坦左 -模 。
平坦模与投射摸的关系：
1. 投射模 一定是平坦模，反之不一定成立；
2.环 上每个左 平坦模是投射模的 充分必要条件 是，环 是左完全环。
三者关联
首先给出局部有限的 艾米·诺特 的连通的分次 代数 的定义，即形如 ，且满足
(1) 是诺特的（未必是有限维）；
(2)每个 向量空间 都是有限维的；
(3) 是任意一个基础域。
（在没有特别说明时，均为满足以上3个条件）
三者之间的关系：
(1)设 是局部有限的诺特的连通的分次 代数 ， ，则 是平坦的 是投射的 是自由的；
(2)设 是一个局部有限的 艾米·诺特 的连通的分次代数，如果 ，则有限（Finitistic）维数猜想对于 是成立的。
应用
密码学
秘密共享是密码学中的常见问题：一个管理者与 个参与者希望共享一个秘密 ，从安全考虑，管理者将这个秘密 分成 份，分别给每个参与者一份，使得参与者的某些 子集 可以恢复出秘密 ，这种子集称为授权子集，参与者的其它子集称为非授权子集，无法得知秘密 。对于该问题，在萨莫尔（Shamir）和布莱克利（Blakley）于1979年提出的 -门限方案的基础上，基于 交换环 上的自由模，可以设计一个更为一般的完善的秘密共享方案。