随机微分方程（ 英语 ：SDE, stochastic differential 方程 ）是 常微分方程 的扩展，其项是 随机过程 ，解也是随机过程。它描述了一个随机变数的变动过程，即常微分方程加上一个白噪音项。由于随机过程函数本身的 导数 不可定义，传统解 微分方程 的概念不适用于随机微分方程。SDE在 纯粹数学 中有广泛应用，如模拟股价、随机增长模型或受热涨落影响的 物理系统 等随机模型的行为。随机微分方程的概念最早由 阿尔伯特·爱因斯坦 在论文中提出，并由 保罗·朗之万 继续研究。 伊藤清 和鲁斯兰斯特拉托诺维奇等人后来完善了随机微分方程的 数学基础 。随机微分方程的解是一 随机过程 函数，但解方程需要先定义随机过程函数的微分。最常见的定义为 伊藤积分 ，它是在金融数学中常用的随机微分方程形式。
背景
随机微分方程源于爱因斯坦和Marian Smoluchowski提出的 布朗运动 理论，而Louis Bachelier是第一个建立布朗运动模型的人，给出了一个非常早期的SDE实例，即现在所谓Bachelier模型。早期的SDE例子是线性的，也称为 保罗·朗之万 方程 ，描述了 谐振子 在随机力作用下的运动。 伊藤清 在1940年代发展了SDE的数学理论，提出了随机分析的概念，并开启了非线性随机微分方程的研究。后来，Ruslan Stratonovich提出了另一种方法，产生了类似于普通微积分的 随机积分 。
术语
在文献中，SDE最常见的形式是 常微分方程 ，右式由一个取决于白噪音变量的扰动项。大多数时候SDE被理解为相应随机差分方程的连续时间极限，这种理解是模糊的，必须辅以相应积分的适当数学定义。这种数学定义由 伊藤清 提出，产生了 伊藤积分 。后来，Ruslan Stratonovich提出了另一种构造，即所谓随机积分，与伊藤积分是相关但不同的对象，选择取决于具体应用。伊藤积分以非预期性或因果性概念为基础，这在以时间为变量的应用中很自然。而 随机积分 的规则则与普通微积分相似，且具有内在的几何特性，使它在处理 流形 上的随机运动等问题时更自然。尽管通过伊藤SDE来模拟流形上的随机运动也是可能的，且有时更可取，例如在试图优化逼近 子流形 上的SDE时。
随机分析
布朗运动 或维纳过程在数学上异常复杂：维纳过程几乎肯定不可微，因此要有自己的分析规则。随机分析有 伊藤积分 和随机积分两个版本，各有利弊，初学者往往搞不清楚特定问题用哪个更合适。有些指南(e.g. Øksendal, 2003)，人们可以很方便地将伊藤SDE变换为等价的随机SDE，反之亦然。不过，最初写下SDE时还是要决定使用哪种积分。
数值求解
解SDE的数值方法有欧拉-丸山法、米尔斯坦法和Runge–Kutta法等。这些方法允许我们在 计算机 上模拟SDE的行为，从而在物理学、金融数学等领域中进行实际应用。
物理学中的应用
物理学中，SDE具有广泛的适用性，从 分子动力学 到神经动力学，再到 天体 动力学，不一而足。SDE描述了所有 动力系统 ，其中量子效应要么不重要，要么可以作为扰动加以考虑。SDE可被视为 动力系统理论 对有噪模型的一种概括，这很重要，因为实际系统不可能与其环境完全隔离，总会受外部随机影响。
在概率论和金融数学中的应用
概率论 及其在金融数学中的应用，使用的符号略有不同。在这些领域中，SDE用于模拟如股价这样的 随机过程 。例如， 几何布朗运动 方程 是金融数学中布莱克-舒尔斯模型中的股价动态方程。此外，SDE还可以处理金融数学中所谓 波动性 微小的模型。
SDE与超对称
在SDE的 超对称 理论中，随机动力是通过作用于模型 相空间 微分形式 的随机演化 映射 定义的。所有SDE都具有拓扑超对称性，即通过连续的时间流保持相空间连续性。这种超对称的自发破缺是混沌、湍流、自组织临界性等诸多动力现象的数学本质。
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