极限（ Limit ）是 微积分学 的基本概念之一，用于定义连续、 导数 、积分和 级数 等数学概念，分为 数列 极限和函数极限。 数列极限的定义为：设 为一数列，如果存在 常数 ，对于任意给定的 正数 （不论它多小），总存在正整数 ，使得当 时， 不等式 都成立，则称 为数列 的极限或称数列 收敛于 。 函数极限 的定义可描述为：在自变量变化过程中，若函数值无限趋近于某一确定数，则该数称为函数在此过程中的极限。此外，函数的极限因自变量变化过程不同会呈现不同形式。
极限概念的起源可以追溯到 中国 古代和古希腊时期。17世纪， 英国 数学家 艾萨克·牛顿 和 德国 数学家 戈特弗里德·莱布尼茨 独立创立了 微积分学 ，极限概念成为微积分建立过程中不可或缺的部分。18世纪， 法国 数学家 让·达朗贝尔 首次将极限概念明确地作为微积分的基础。19世纪，法国数学家 奥古斯丁-路易·柯西 通过算术方法明确定义了极限，为无穷小和无穷大量的理解提供了清晰的算术基础。随着极限概念被推广到多元函数和复变量函数， 美国 数学家穆尔和德国数学家史密斯通过引入广义序列的收敛定义了极限的更一般化概念，不仅拓展了极限概念的应用范围，还在现代 拓扑学 和 数学分析 中起到了重要作用。
极限具有唯一性、 有界性和保号性等性质。 极限的求法有 四则运算 法则和复合函数的极限运算法则等。 极限的相关概念有无界变量、 无穷小量 和无穷大量。 极限的推广包括 夹逼定理 、 单调收敛定理 和柯西收敛准则等。 两个重要极限分别为 和 。 极限的应用范围广泛，在数学、物理、经济领等域均有重要价值。
历史
起源
极限概念的起源可以追溯到 中国 古代和古希腊时期，这一概念在两个文明中几乎同时但独立地被提出和应用。在中国，最早记载极限思想的文献之一是《庄子·天下篇》，其中 惠子 提出了“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的思想，这是对无限分割过程的直观描述。而在3世纪，中国数学家 刘徽 在计算圆的面积时提出了“割圆术”，通过将圆内接正多边形的边数不断倍增来逼近圆的真实面积，体现了早期极限思想的实际应用。刘徽的方法不仅成功计算出 圆周率 的近似值，而且通过无限细分，内接 多边形 的面积可以无限逼近圆的面积。
古希腊 数学家 安蒂丰 （Antiphon）在讨论 化圆为方 的问题时，也想到了使用边数不断增加的内接 正多边形 来逼近圆面积的方法。这种方法后来由 欧多克索斯 （Eudoxus）进一步发展，并被 阿基米德 （Archimede）成功应用于求解面积和体积的问题。阿基米德利用了欧多克索斯的“穷竭法”原理，这是一种通过不断减去大于半量的过程来逼近较小量的方法，它是现代分析中阿基米德原理的原型。阿基米德通过这种方法获得了 抛物线 弓形 面积等重要结论，展示了近代积分学中 微元法 思想的雏形，尽管当时还没有形成精确的极限概念。“穷竭法”到了17世纪被重新研究并进一步发展，其蕴含的思想成为近代极限概念的雏形。
发展
17世纪标志着数学发展的一个重要转折点，特别是解析几何的创立，使得 自然科学 的研究焦点转向了自然界中的运动和变化，促进了变量和函数概念的引入。这一时期， 英国 数学家 艾萨克·牛顿 （Newton）和 德国 数学家 戈特弗里德·莱布尼茨 （Leibniz）基于前人的工作，独立创立了 微积分学 ，极限概念成为微积分建立过程中不可或缺的部分。然而，最初关于极限的概念理解是模糊的，尤其在一些关键之处经常显得理论自相矛盾。
牛顿在其著作中提出流数法，将曲线视为动点的轨迹，动点的坐标是时间的函数，他通过流数（即 导数 ）来描述动点的速度。莱布尼兹则从和、差可逆性的研究出发，构建了微积分思想。通过研究帕斯卡三角形和探索 切线 问题及求积问题的互逆性， 戈特弗里德·莱布尼茨 引入了微分和积分的符号。不同于 艾萨克·牛顿 ，莱布尼兹视 无穷小量 为离散且具有不同层次的，从而引出了高阶微分的概念。然而，牛顿和莱布尼兹在定义无穷小量时都存在逻辑上的模糊。极限概念的含糊不清导致一些数学家对 微积分学 产生了质疑，尤其是 英国 利奥六世 安东尼·伯克莱 （Berkeley），他曾在《分析学家》上嘲笑牛顿在无穷小概念上是“瞪着眼睛说瞎话”。
完善
为了克服无穷小概念带来的困难，18至19世纪的数学家们提出了多种方案，其中 法国 数学家 让·达朗贝尔 （D' Alembert）首次将极限概念明确地作为微积分的基础。他提出了一个变量趋近于固定量的定义，虽然这个定义较为通俗且未完全公式化，但它标志着极限概念开始摆脱直观的几何和力学原型，向现代严格极限理论的初步形态迈进。
1817年， 捷克 数学家 波尔查诺 首次抛弃无穷小概念，采用极限观念定义 导数 和连续性，并提出 级数 收敛的判别准则及确界存在原理，但其工作长期未被重视。直到法国数学家 奥古斯丁-路易·柯西 （Cauchy）通过算术方法明确定义了极限，并用 不等式 刻画了极限的概念，为无穷小和无穷大量的理解提供了清晰的算术基础。他的极限定义摆脱了长期以来的几何说明，使极限概念成为算术的，为 数学分析 的严格化奠定了基础。 德国 数学家 卡尔·魏尔施特拉斯 （Weierstrass）对柯西的工作进行了改进，他采用了静态观点来定义极限，避免了直观的时间和运动概念，将分析奠基在纯算术概念之上。外尔斯特拉斯的方法使极限运算成为一系列不等式的推导，彻底摆脱了对几何直观的依赖，实现了极限概念的算术化。
经过这些数学家的努力，19世纪的数学界最终消除了极限概念的不明确性，建立了严格的极限理论。这一理论的确立对于微积分基础的建立具有重大意义，不仅解决了长期存在的各种困惑和 悖论 ，而且推动了微积分及整个数学的深入发展，使微积分的应用和理论研究达到了一个新的广阔境界。
推广
随着极限概念被推广到多元函数和复变量函数，虽然极限过程变得更为复杂，但其基本性质大致保持不变。然而，数学家们逐渐发现，存在一些极限过程具有特殊性质，这些特殊情况的极限过程与传统的单变量 函数极限 在处理方法上有所不同。例如，定积分的定义引入了达布和的概念，这里的极限过程与区间的分割紧密相关，难以仅用传统的极限语言来描述。曲线 弧长 的定义也面临着类似的情形。
对于极限的更一般化概念，则是由 美国 数学家穆尔（Moore）和 德国 数学家史密斯（Smith）通过引入广义序列的收敛来定义的，这种收敛也被称为广义极限。广义序列的概念是在有向集 映射 到 拓扑空间 的框架下提出的，它涉及到将有向集中的元素映射到拓扑空间中的元素上的对应关系。在这个定义下，一个拓扑空间中的广义序列在该空间中收敛于某点，如果对该点的每个 邻域 ，都存在有向集中的一个元素，使得所有有序对中的元素均落在这个邻域内。穆尔-史密斯收敛的概念展示了传统序列作为广义序列的一种特殊情况，其中有向集就是 自然数 集。广义序列的引入不仅拓展了极限概念的应用范围，还在现代 拓扑学 和 数学分析 中起到了重要作用。它可以用来刻画 分离公理 、各种 紧性 以及 紧化 的构造，为理解和处理更复杂的 数学结构 提供了一种强有力的工具。
定义
数列极限
设 为一数列，如果存在 常数 ，对于任意给定的 正数 （不论它多小），总存在正整数 ，使得对所有满足 的自然数 ，都有 成立，则称 为数列 的极限， 并记作 或 。 此时又称 数列 收敛于 。如果数列 没有极限，则称该数列发散。
几何定义： 将 常数 及数列 在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点 的 邻域 ，即开区间 。
因 不等式 与不等式 等价，所以当 时，所有的点 都落在开区间 内，而只有有限个（至多只有 个）在这区间以外。
函数极限
函数极限的定义可描述为：在自变量变化过程中，若函数值无限趋近于某一确定数，则该数称为函数在此过程中的极限。函数的极限因自变量变化过程不同会呈现不同形式。
自变量趋于有限值时函数的极限
设函数 在 的附近有定义， 为 实数 ，如果 ， ， 使得所有的 都满足 ，则称当 时，函数 有极限 ，或称当 时， 趋向于 ，记作 ，或 。
几何定义： 任意给定一 正数 ，作平行于 轴的两条直线 和 ，界于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的 ，存在着点 的一个 邻域 ，当 的图形上的点的横坐标 在邻域 内，但 时，这些点的纵坐标 满足 不等式 ，或 。即这些点落在上面所作的横条区域内。
单侧极限： 设函数 在 的左（右）侧区间 上有定义， 为一 实数 ，如果 ， ，对于所有的 ，都有 ，则称 在 有左（右）极限，记作 ，或 。
自变量趋于无穷大时函数的极限
设 在 上有定义， 是一个 实数 。如果 ， ，对于所有的 都有 ，则称当 趋向于 时函数 有极限 ，记作 ，或 。
几何定义： 作直线 和 ，则总有一个 正数 存在，使得当 或 时，函数 的图形位于这两直线之间。这时，直线 是函数 的图形的水平 渐近线 。
性质
数列极限
数列极限的唯一性
如果数列 收敛，那么它的极限唯一。
证明：
假定存在两个不 相等 的 实数 和 ，使得 ， 同时成立。给定 正数 。由 推出：存在正整数 ，使得当 时恒有 （公式1）。由 又推出：存在正整数 ，使得当 时恒有 （公式2）。令 ，则当 时，公式1与公式2同时成立，这时就有 。这是矛盾的，证明收敛 数列 的极限具有唯一性。
收敛数列的有界性
如果数列 收敛，那么数列 一定有界。
证明：
设 ，则对于 正数 1，存在正整数 ，使得当 时，恒有 。由此可得，当 时恒有 。令 ，那么当 时恒有 。
数列 的有界性是极限存在的必要条件，但是有界数列未必收敛。例如考察数列 。这个数列有界，但是不存在极限。
收敛数列的保号性
如果 ，且 （或 ），那么存在正整数 ，当 时，都有 （或 ）。
证明：
设 ，则由极限概念，存在正整数 ，使得当 时恒有 。此时就有 。
假定 ，则得出：对于充分大的 ，恒有 ，这与 定理 假设冲突。
收敛数列与其子数列间的关系
如果数列 收敛于 ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 。
证明：
设数列 是数列 的任一子数列。由于 ，故 ， 正整数 ，当 时， 成立。取 ，则当 时， 。于是 。这就证明了 。
如果 数列 有两个子 数列 收敛于不同的极限，那么数列 是发散的。同时，一个发散的数列也可能有收敛的子数列。
函数极限
函数极限的唯一性
如果 存在，那么这极限唯一。
证明方法可参考数列极限的唯一性。
函数极限的局部有界性
如果 ，那么存在 常数 和 ，使得当 时，有 。
证明：
因为 ，所以取 ，则 ，当 时，有 ，记 。
函数极限的局部保号性
如果 ，且 （或 ），那么存在 常数 ，使得当 时，有 （或 ）。
证明：
设 ，因为 ，所以，取 ，则 ，当 时，有 。当 时同理。
函数极限与数列极限的关系
如果极限 存在， 为函数 的定义域内任一收敛于 的数列，且满足 ，那么相应的函数值数列 必收敛，且 。
证明：
设 ，则 ， ，当 时，有 。又因 ，故对 ， 正整数 ，当 时，有 。由假设， ，故当 时， ，从而 ，即 。
运算法则
极限的求法主要建立在 四则运算 法则和复合函数的极限运算法则上。
定理一
两个无穷小的和是无穷小。
证明：
设 和 是当 时的两个无穷小，而 ， 。因为 是当 时的无穷小，对于 ， ，当 时， 不等式 成立。又因 是当 时的无穷小，对于 ， ，当 时，不等式 成立。取 ，则当 时， 及 同时成立，从而 。这就证明了 也是当 时的无穷小。
定理二
有界函数 与无穷小的乘积是无穷小。
证明：
设函数 在 的某一去心 邻域 内是有界的，即 使 对一切 成立。又设 是当 时的无穷小，即 ， ，当 时，有 。取 ，则当 时， 及 同时成立。从而 ，这就证明了 是当 时的无穷小。
定理三
如果 ， ，那么
证明1：
因 ， ，根据无穷小 定理 可知，在自变量的同一变化过程 （或 ）中，函数 具有极限 的 充分必要条件 是 ，其中 是无穷小。 于是得到 。由 定理 一可知 是无穷小，所以得到 。同理可证2。
证明3：
由 ， ，有 ， ，其中 及 为无穷小。设 ，则 。 可看作两个函数的乘积，其中函数 是无穷小。由于 ，存在着点 的某一去心 邻域 ，当 时， ，从而 。 于是 。这就证明了 在点 的去心 邻域 内有界。因此，根据 定理 二， 是无穷小。而 ，所以由无穷小定理可得 。
定理四
设有 数列 和 。如果 ， ，那么
证明方法可参考 定理 三。
定理五
如果 ，而 ， ，那么 。
证明：
令 ，则 。根据 定理 三，有 ，可推论出有 ，即 ，故 。
复合函数的极限运算法则
设函数 是由函数 与函数 复合而成， 在点 的某去心 邻域 内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则 。
证明：
由于 ， ，，当 时， 成立。又由于 ，对于上面得到的 ， ，当 时， 成立。假设当 时， 。取 ，则当 时， 和 同时成立，即 成立，从而 成立。
相关概念
无界变量
设 为 数列 ，如果对于任意给定的 正数 ，总能在该 数列 中找到某一项 ，满足 ，则称 是一个无界数列。无穷大数列一定是无界数列，但是无界数列未必是无穷大数列。
举例： 是无界数列，但不是无穷大数列。如果 是一个无穷大 数列 ，则极限 不存在。但是为了表示的简洁，可以用记号 来表示 是一个无穷大数列。
无穷小量
如果函数 当 （或 ）时的极限为零，那么称函数 为当 （或 ）时的无穷小。特别地，以零为极限的 数列 称为 时的无穷小。
例1：因为 ，所以函数 为当 时的无穷小。
例2：因为 ，所以函数 为当 时的无穷小。
无穷大量
设函数 在 的某一去心 邻域 内有定义（或 大于某一 正数 时有定义）。如果对于任意给定的正数 （无论多大），总存在正数 （或正数 ），只要 适合 不等式 （或 ）,对应的函数值 总满足不等式 ，那么称函数 是当 （或 ）时的无穷大。
举例：证明 。设 ，要使 ，只要 。所以，取 ，则只要 适合 不等式 ，就有 。这就证明了 。一般地说，如果 ，那么直线 是函数 的图形的铅直 渐近线 。所以，直线 是函数 的图形的铅直渐近线。
推广
夹逼定理
如果 数列 ， 和 ，满足下列条件：
那么 数列 的极限存在，且 。
证明：
因 ， ，所以根据数列极限的定义， ， 正整数 ，当 时，有 ；又 正整数 ，当 时，有 。现在取 ，则当 时，有 ， 同时成立，即 ， 同时成立。又因当 时， 介于 和 之间，从而有 ，即 成立。这就证明了 。
还可以推广到函数的极限：
由 夹逼定理 可得出重要极限 ， 可推广为 。
单调收敛定理
如果 数列 满足条件 ，就称数列 是单调增加的；如果数列 满足条件 ，就称数列 是单调减少的。单调增加和单调减少的 数列 统称为单调数列。
几何解释：
从数轴上看，对应于单调数列的点 只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：点 沿数轴移向无穷远（ 或 ）；点 无限趋于某一个定点A，也就是数列 趋于一个极限。假定数列是有界的，而有界数列的点 都落在数轴上某一个区间 内，则上述第一种情况不可能发生。这表示这个 数列 趋于一个极限，并且这个极限的 绝对值 不超过 。
由 单调收敛定理 可得出重要极限 ，可推广为 ， 其中 ，是一个 无理数 。
柯西收敛准则
数列 收敛的 充分必要条件 是 为 奥古斯丁-路易·柯西 数列。
证明：
假设数列 收敛，令 ，则 ， ，只要正整数 满足 ，就有 。于是只要 ， ，就有 ， 。可知，只要 ， ，就有 。于是 为 奥古斯丁-路易·柯西 数列 。
极限与导数的关系
若函数 在 上连续，在 内可导，并且导函数的右极限存在，则 在 处的右 导数 存在，且 。
证明：
因为 在 上连续，在 内可导，所以任取 ，有 在 上连续，在 内可导。由 拉格朗日中值定理 ，得至少 使得 。因为 ，所以当 时，有 ，于是，对上式两边同时取极限，得 ，又因为 ，所以有 。
应用
数学应用
在数学中，极限的应用是多方面的，它不仅在 高等数学 中占据着重要的位置，而且在其他数学学科中也展现了巨大的作用。古代数学家 刘徽 的“割圆术”，现在用于定义曲边 梯形 的面积。具体方法是通过将曲线下方的区域划分为无数小矩形，这些小矩形的总面积在适当的极限下，可以无限逼近曲边梯形的实际面积。这不仅是定积分的定义基础，也是求解任何曲线边界图形面积的基础。 此外，极限思想同样适用于求 方程 的数值解，例如求解 二次方程 的正根（即 ）。通过不断取算术平均值和调整近似值，可以生成一个 数列 ，该数列的极限即为方程的数值解。
物理学应用
函数极限 的概念在物理学中的应用范围广泛，为揭示和理解多种物理现象提供了强有力的工具。函数极限的概念在物理学中的应用范围广泛，例如，在力学中，瞬时加速度的定义就是通过将平均加速度在极短时间间隔的极限情况下进行考虑得到的。同样，在 理想气体 温标的定义中，也是通过考虑气体 压强 趋近于零时定压和定容气体温标值的共同极限来确定的。此外，物理学中许多基本的运动规律和公式，如物理 引力场 的 势能 、点电荷形成的 电场 位能、以及 理想气体 的玻义耳- 埃德姆·马略特 定律等，都可以通过 函数极限 的概念来解释和理解。在 热力学 领域，第三定律通过描述 热力学系统 在温度趋近于 绝对零度 时 的行为，体现了极限概念的应用。在原子物理学领域， 里德伯 常数 的理论值和 原子光谱 线系限 波数 的确定，都是通过应用函数极限的概念来实现的。
经济学应用
在金融领域，尤其是 股票市场 和房地产市场，极限的应用展现了其在解决实际问题中的独特价值。通过应用 零增长 模型，即假设股利增长率为零，可以通过计算未来 股息 的 贴现 值来估算股票的 内在价值 。这个过程涉及到将未来无限期股息红利的累计贴现回现在，最终归结为股票的净现值（NPV）。根据NPV的正负，投资者能够判断股票是处于被低估状态还是被高估状态，进而作出买入或不买的决策。同样，在购房 按揭贷款 分期偿还的计算中，极限的应用同样重要。通过构建 年金 计算模型，可以明确地计算出在给定的分期年数、 年利率 等条件下，购房者每月需还款的金额。当考虑到无限期付清的情形，即每期还款金额变成一个固定值时，通过极限的概念可以精确地计算出每个还款日的应还金额，为购房者提供了一种清晰的 财务规划 方法。