多面体

由若干个平面 多边形 所围成的封闭几何体称为多面体。 在 几何学 中，多面体（偶数多面体或 奇数 多面体）是一种具有平面、直边、顶点的三维形状各面都是平面的立体图形称为多面体。 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，若干条棱交汇的点叫多面体的顶点。

几何学中可将多面体分为两大类，即 凸多面体 和凹多面体。把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体，反之为凹多面体。

定义及特征

定义

由若干个平面 多边形 围成的几何体叫做多面体。围成多面体的多边形叫做多面体的面。两个面的公共边叫做多面体的棱。若干条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。把多面体的任何一个面伸展，如果其他各面都在这个平面的同侧，就称这个多面体为凸多面体。多面体至少有4个面。多面体依面数分别叫做四面体、 五面体 、 六面体 等等。把一个多面体的面数记作F，顶点数记作V，棱数记作E，则F、E、V满足如下关系：F+V=E+2。

这就是关于多面体面数、顶点数和棱数的欧拉定理，每个面都是 全等 的 正多边形 的多面体叫做 正多面体 。每面都是 等边三角形 的正多面体有 正四面体 、 正八面体 和正 二十面体 。每面都是正方形的多面体只有正六面体即 立方体 ，每面都是正 五边形 的只有 正十二面体 。由 长城欧拉 定理 可知一共只有这5种正多面体。

有两个面互相平行，其余各面都是 四边形 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做 棱柱 (如图1)。两个互相平行的面叫棱柱的 底面 ，其余各面叫棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。不在同一个面上的两个顶点的连线叫棱柱的 对角线 。两个底面间的距离叫做棱柱的高。侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是 正多边形 的直棱柱叫做正棱柱。底面是三角形、四边形、 五边形 ……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。容易看出棱柱的侧棱的长都 相等 ，侧面都是 平行四边形 。两个底面与平行于底面的截面是 全等 的 多边形 。过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。直棱柱的侧棱长与高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 底面 是平行四边形的四棱柱叫做 平行六面体 。底面是矩形的直平行六面体叫做长方体。棱长都相等的长方体叫做 立方体 。易见长方体的一条 对角线 的长的平方等于一个顶点上3条棱长的平方和，称垂直于侧棱并与每条侧棱都 相交 的截面为 棱柱 的直截面。斜棱柱的侧面积等于它的直截面的 周长 与侧棱长的乘积。直棱柱的底面是直截面，因此直棱柱的侧面积等于它的底面的周长与一条侧棱长的乘积。棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积。

特征

面与面之间仅在棱处有公共点，且没有任何两个面在同一平面上。 一个多面体至少有四个面。

通常情况下，只有当 多面体 的所有面均为平面且单联通，并且其所包围的内部空间单联通时，才为经典多面体

注意：各面都是平面的立体图形称为多面体。像圆锥、 圆台 因为有的面是 曲面 ，而不被称为“多面体”。圆锥、圆柱、圆台统称为 旋转体 。立体图形的各个面都是平的面，这样的立体图形称为多面体。

一个小窍门：从正 六面体 开始，每两个 正多面体 的棱数相同，顶点数与面数正好相反，但只适用于一部分正多面体。

经典多面立体

在经典意义上，一个 多面体 （polyhedron）( 英语 词来自 希腊语 πολυεδρον，poly-，就是词根πολυς,代表"多"，+-edron，来自εδρον，代表"基底"，"座"，或者"面")是一个三维形体，它由有限个 多边形 面组成，每个面都是某个平面的一部分，面相交于边，每条边是直线段，而边交于点，称为顶点。 立方体 ， 棱锥 和 棱柱 都是多面体的例子。多面体包住 三维空间 的一块有界体积；有时内部的体也视为多面体的一部分。一个多面体是多边形的三维对应。多边形， 多面体 和更高维的对应物的一般术语是多胞体。

正多面体 ：所谓正多面体，是指多面体的各个面都是 全等 的 正多边形 ，并且各个多面角都是全等的多面角。例如， 正四面体 （即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有三个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的。

正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正 六面体 、 正八面体 、 正十二面体 、 正二十面体 五种。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。有些 化学元素 的结晶体呈 正多面体 的形状，如食盐的结晶体是正六面体， 硫酸铝钾 的结晶体是正八面体。

古希腊 的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校教授。故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体。

正多面体

正多面体，或称柏拉图立体，指各面都是 全等 的 正多边形 且每一个顶点所接的面数都是一样的 凸多面体 。因此对于每两个顶点来说都有一个等距的 映射 将其中一点映射到另一点。

命名由来

正多面体的别称 柏拉图 立体是因柏拉图而命名的。柏拉图的朋友特埃特图斯告诉柏拉图这些立体，柏拉图便将这些立体写在《提玛友斯》内。 正多面体 的作法收录《 几何原本 》的第13卷。在命题13描述 正四面体 的作法，命题14就是 正八面体 ，命题15为 立方体 ，命题16是 正二十面体 ，命题17是 正十二面体 。

判断依据

判断正多面体的依据有三条：

(1)正多面体的面由 正多边形 构成

(2)正多面体的各个顶角 相等

(3)正多面体的各条棱长都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角 十二面体 ，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不相等因此不是正多面体。

正多边形 都是轴对称图形，正偶数边形既是轴对称图形又是 中心对称图形 如果n是偶数，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的 中点 。如果n是 奇数 ，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。例如： 正多边形 的 周长 与它的 外接圆 的直径的比值，与直径长短无关。古代数学家正是利用这一性质，逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近它的外接圆的周长，从而求得了 圆周率 的近似值。

arcgis多面体

多面体要素

多面体要素是一种可存储面集合的GIS对象，能够在数据库 中将 3D对象的边界表示为单个行。面可存储表示要素组成部分的纹理、颜色、透明度和几何信息。面中存储的几何信息可以是三角形、三角扇、三角条带或环。

所有多面体都将z值作为用于构建面的 坐标系 的一部分而存储。尽管可以使用数字要素属性建立多面体的基础z值模型，但此选项可能不支持使用嵌入式z值时可用的相同分析和交互选项。

有些多面体要素被视为已闭合，这表示它们正确定义了体积。闭合的多面体可用于其他分析工具，如3D联合和3D 相交 。要将多面体视为已闭合，必须以正确方式构造该多面体。要素必须代表一个相异的体积。构成该体积的面必须具有与其坐标相同的逆时针方向并参与定义体积的外壳。这些面不得彼此相交，并且壳中不得存在间距或空白空间。可以使用是否为闭合地理处理工具来验证多面体是否已正确闭合。

多面体要素的示例包括带纹理的建筑物、灯柱、树、子表面 地层 、地下建筑物或某种类型的分析表面。

创建多面体要素类

要创建新的多面体要素类，只需在定义要素类的几何时从类型下拉菜单中选择“多面体要素”。

z值

Z值用于表示多面体要素的形状和 高程 。它可以表示绝对高度或相对于地面的高度。对生成的3D要素类进行显示和分析时，两种方法均完全受支持。

应该在要素类所在的要素 数据集 (如果存在)或在要素类自身(如果没有要素数据集)中定义要素类z值的单位和基准面。如果未定义单位，ArcGIS将假定z的单位与 的单位匹配。此假定可能会带来问题，尤其当 的单位是地理单位( 纬度 经度)时。

创建多面体要素

使用地理处理工具将现有3D模型导入到ArcGIS中可创建多面体要素。3D图层到要素类地理处理工具会将通过各种模型格式(如SketchUp、OpenFlight、3ds或 COLLADA )符号化的点转换为多面体要素类。导入3D文件地理处理工具也可执行相同操作，但会提供更多导入格式选项(如VRML)。此外，也可使用ArcObjects以程序的方式来构造多面体要素。