整数 庞巴迪公司 ：integer） 是数系中基本的一种数，是正整数、零、负整数的统称。所有整数的集合称为整数集，用符号Z表示。
数字起源于远古时期，当时并没有 计数 工具，为了计算劳动收获和分配所得，人们往往会借助手指、足趾或身体的其他部位来计算数字，再进行比较，这时整数概念的雏形就已经诞生。 公元前3世纪的古希腊时代， 欧几里得 作为古希腊数学家，所著《 几何原本 》一书中首次系统梳理整数的整除性质，介绍了整数的概念，并记载了对整数的因数分解、求两个正整数最大公因数的辗转相除法（即欧几里得算法）等内容，为整数理论奠定基础。随着数系的概念不断推广，与正数相反的 负数 概念出现，在公元1世纪左右成书的中国《 九章算术 》中就记载有正负数的加减法则。但一开始负数并未被重视，直到17世纪左右负数的概念才得以完善。 在数论发展史上， 法国 数学家 皮耶·德·费玛 （Fermat,P.de）、 德国 数学家 高斯 （Gauss,C.F.） 以及 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 （Euler,L.） 等人都做出了重要贡献。1860年， 卡尔·魏尔施特拉斯 （Weierstrass,K.(T.W.)）首先提出用一对有序 自然数 表示负整数。后来， 皮亚诺 （Peano,G.）在前人的基础上建立了自然数系的公理，并进一步构造了整数系，完善了数系理论的建立工作。
整数和分数统称为 有理数 ，其 加法 、减法和乘法的运算法则与运算定律适用于整数运算。 在算术里，零和 自然数 称为算术整数。整数还有一个等价定义，即有序自然数的等价类。 数论中著名的费马大小 定理 、欧拉定理等与整数密切相关。 此外，整数可推广至 环论 等其他数学分支，在整数环中，唯一因式分解 定理 帮助研究整数的整除性。 整数在现实世界中具有广泛的应用价值，如在 电力系统 调度中，通过整数编码方式，可优化机组组合问题，相比于二进制编码，能有效减少待优化变量个数。
定义
正整数、零和负整数统称为整数，所有整数的集合称为整数集，用符号 表示；整数不包括小数、分数。
例如：
正整数，如 ；
负整数，如 。
简史
整数与数论
远古时期，由于没有计数工具，人们为了计算劳动收获和分配所得，往往会借助手指、足趾或身体的其他部位来计算数字，用于与被计量的物体进行一一比较，产生了最初的整数概念。 公元前3世纪的 古希腊 时代， 欧几里得 （Euclid）所著《 几何原本 》一书中介绍了整数的概念，并记载了对整数的因数分解、求两个正整数 最大公因数 的辗转相除法等内容。随着 数系 的概念不断推广，与 正数 相反的 负数 概念出现，在公元1世纪左右成书的 中国 《 九章算术 》中就记载有正负数的加减法则。但一开始负数并未被重视，古希腊著名数学家 丢番图 （Diophantus，约公元200~284年）在著作《算术》( Arithmetica） 中将 方程 的负数根描述为错误的，直到17世纪左右负数的概念才得以完善。 随后， 法国 数学家 皮耶·德·费玛 （Fermat,P.de）在1637年左右提出的 费马大定理 和 德国 数学家 高斯 （Gauss,C.F.）在1801年发表的著作《 算术研究 》 以及 瑞士 数学家 莱昂哈德·欧拉 （Euler,L.） 对费马定理的证明及推广等为 数论 的发展做出了重要贡献。 1860年， 卡尔·魏尔施特拉斯 （Weierstrass,K.(T.W.)）首先提出用一对有序 自然数 表示 负整数 。后来， 皮亚诺 （Peano,G.）在前人的基础上建立自然 数系 的公理，并进一步构造整数系，完善了数系理论的建立工作。
符号起源
整数符号的引入起源于19世纪， 德国 数学家 戴德金 （Dedekind,Richard）通过集合论方法定义整数，解决了整数的逻辑基础问题，在1872年出版的著作《 连续性与无理数 》(Stetigkeit und Irrationale Zahlen）中分别使用 表示 有理数 、 实数 、 复数 ，引入 表示整数，并在之后《数是什么？数应当是什么？》(Wassind und was sollen die Zahlen?）一书中以 表示 自然数 。 随后， 意大利 数学家 皮亚诺 （Peano）在1889年出版的《算数原理新方法》(Arithmetices principia,nova methodo exposita）中引用了 戴德金 的结论，完成了对整数的公理化处理并使用同样的符号，后来他在1895年出版的《数学公式汇编》(Formulario mathematico）中使用 来表示正整数以及 表示整数。 进入20世纪，赫尔穆特·哈斯（Helmut Hasse）、奥托·豪普特（Otto Haupt）、 范·德·瓦尔登 （Van der Waerden）和埃德蒙·兰道（Edmund Landau）等数学家也在书中使用了不同的符号表示整数。而正式提出将 作为整数表示符号的是 法国 数学团体布尔巴基（N.Bourbaki），随后该符号逐渐被认可和广泛使用。
相关概念
自然数
定义： 一般地，表示物体个数的数叫自然数，如 条鱼， 个水果， 只野兔等。
如 都是自然数，自然数的单位是 。
零和正整数统称为自然数。自然数都是整数，但整数不一定都是自然数。
分数
定义： 把单位“ ”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，就叫分数。如把单位“ ”分成 份取其中的 份，就是 。
分数是由两个整数（其中有一个不能为零）和一条横线组成。
有理数
正、 负整数 和 统称为整数；正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。
等价定义
有序自然数的等价类
一个整数是一个有序自然数的等价类，其中 当且仅当 。
可使用如下记号作为这些整数的名称：
；
；
。
这些等价类也可以用下图表示出来，标出有序对 ， 向右 度量 ，而 向上度量，于是就得到整数集与它自身的笛卡儿积的一个用图作出的解释。
如上图所示，与一个确定的等价类的有序对相应的点，位于一条与水平方向成 角的直线上。这些直线与水平的 实数 直线 相交 于由 相应的等价类所表示的整数点上。
运算定义
加法 ： 两个整数 和 的和定义为 ；
乘法： 两个整数 和 的积定义为 。
性质
代数性质
加法和乘法
由于整数和分数统称为 有理数 ，因此有理数的加法、减法和乘法的运算法则与运算定律适用于整数运算。
加法 ：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把 绝对值 相加；
2.绝对值不 相等 的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为 相反数 的两个数相加得 ；
3.一个数同 相加，仍得这个数。
例如： 。
减法： 整数的减法可以转化为加法来进行，即整数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
例如： 。
乘法：
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把 绝对值 相乘；
2.任何数与 相乘，都得 。
例如： 。
运算定律： 整数的运算法则对加法满足 结合律 、 交换律 和单调律；对乘法满足结合律、交换律和 分配律 。
交换律： 数 加数 与数 加数 ，其和的不变性叫做加法的交换律，即 ；
结合律： 求几个数的和时，可以把任意加数分成组，各组进行加法，然后再把所得的结果相加，所得的和不变，即 ；
单调律：
(1)若 ，那么 ；
(2)若 ，那么 ；
(3)若 ，那么 。
乘法
交换律 ： 一般地，整数乘法中，两 个数 相乘，交换 因数 的位置，积 相等 ，即乘法交换律： ；
结合律 ： 一般地，整数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即 乘法结合律 ： ；
分配律 ： 一般地， 有理数 乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即分配律： 。
整除
定义
设 是整数， 。若存在整数 ，使得 ，则 能整除 或 能被 整除，记作 。如果不存在整数 ，就说 不能整除 ，或 不能被 整除，记作 。若 , 就叫做 的 倍数 ，或 叫做 的 因数 （ 因数 ）。
性质
整除具有以下一些性质：
1.如果 ，则 。换言之， 是 的因数， 是 的因数，则 是 的因数；(传递性)
2.若 ，那么 ；
3.若 ，那么对任何整数 来说 ；
4.若 ，则 。反之，若 ，则 ；
5.若 ，则 。
序论性质
全序集的定义： 设 是一个偏序集，若 是一个链，则称 是一个全序集或线序集，“ ”是 上的 全序关系 或线序关系。在全序集的 哈斯图 中，从最小元素沿“ ”方向可以遍历它的所有元素。
整数集在序论中满足如下性质：
1.整数集合 上的关系“ ”是全序关系，所以 是全序集；
2.整数集合上的小于等于关系是全序关系；
3.正整数集合上的整除关系不是全序关系，但集合 上的整除关系是全序关系。
相关定理
带余除法定理
对于任意的整数 ，必存在唯一的一对整数 ，使 成立。
该 定理 是整数理论的基础，可得出整数的一些基本性质。
欧拉-费马定理
设 ，则有 。其中， 欧拉函数 ，它表示小于 且与 互素 的正整数个
数。
特别地，当 为素数时，对任意的 有
通常称 式为 费马小定理 ，而 式称为欧拉定理。
费马大定理
大约1637年， 皮耶·德·费玛 （Fermat,1601-1665）写下猜想： 没有非零整数解。后来，该猜想被称为 费马大定理 。费马证明和公开发布 次的情形，并总结出著名的“ 无穷递降法 ”。
不定 方程 ： ，没有 的整数解（使 的解称为平凡解）。其几何意义为：不存在两直角边均为 平方数 的整边 直角三角形 。
推广
整数环
定义
在整数集 中定义加法“ ”与乘法“ ”： 和 ，可知加法与乘法是 的 代数 运算，它与等价类中代表元的选择无关。由下述 定理 ：
1.整数的加法与乘法均满足 结合律 和 交换律 ，且乘法对加法满足 分配律 ；
3.对于 的加法，存在单位元素 ，对于 ，存在唯一的逆元素 ；
4.对于 方程 有唯一解；
可得 构成一个交换群， 构成一个交换 半群 ，由于乘法对加法满足 分配律 ，故 构成一个 交换环 ，称为整数环。
唯一因子分解定理
任一 大于 的整数 能唯一地分解成有限个 质数 的乘积。所谓唯一性是说，如果 有两个这样的分解式
，则一定有 ，并且适当排列因子的次序后有 。
该 定理 在整数的整除性理论中起着基本重要的作用，因此也被称为算数基本定理。
高斯整数环
定义
整数还可以构成其他的数，如 复数 。形如 一类特殊的 复数 ，称为 高斯整数 ，其全体记为 。设 , 对复数加法和复数乘法构成环，称为 高斯整数 环。
带余除法定理
整数中的带余除法定理可以推广至高斯 整环 上，但具有不完全一致的形式。
带余除法定理： 对任意 ，存在 ，使 ，即 。
应用
密码学
在密码学中，整数可以帮助建设安全可靠的 信息安全 系统，为海上作战提供保障。全 同态 加密主要应用于对密文数据进行加密处理，被广泛应用于安全多方运算、数据加密存储、数据 索引 、数据查询等方面。基于整数多项的全同态加密算法，在 密钥 生成过程和加密过程中，耗时更少，并且能够进行 批处理 加密，可有效提高加解密的效率。
工程学
在工程学中，整数可以应用于 电力系统 经济调度，其中机组 组合优化 是一个重要的问题，它由于高维数、非凸、离散、非线性的特征，在理论上很难求出最优解。 粒子群 优化算法是一种随机全局优化算法，在求解机组组合问题时，普遍采用 二进制 编码方式，用 表示发电机组的开停机状态。但对于大规模机组系统， 会导致 种群 个体长度过长，影响算法搜索效率，浪费求解时间。
为了优化机组组合问题，通过整数编码方式，用正负整数分别表示机组开停机时间长度，相比于二进制编码，它能有效减少待优化变量个数。基于机组组合问题的特点，采用修补策略处理不满足约束条件的个体，使算法只在可行解区域内搜索，可有效提高 收敛速度 和求解精度。
管理学
通常，对于 人力资源 供大于求，企业会有多种的应对措施和方案，在作决策时，一般通过传统的定性分析来选择方案，并且方案比较单一。但传统的定性方法存在多个缺点，如不科学、不精确和成本高等。人力资源供大于求状态的决策属于多目标和多方案决策问题，即必须满足高效率与低成本，有利于员工稳定和社会稳定等多个目标。
基于最低成本，构建一个整数 线性规划 决策模型 ，能为企业在人力资源供大于求状态下提供一种有效便捷定量的决策手段。在实际应用过程中，企业可选择其中几个措施方案并进行优化决策。
相关文化
《隐匿的数字》是由科幻作家伊格尔·特珀（Igor Teper）创作的小说，并被改编为同名电影，于2012年上映。
主要讲述： 精神科医生西蒙·汤姆林（Simon Tomlin）与一位名叫艾尔塞姆（Ersheim）的患者之间故事。艾尔塞姆是一名杰出的数学家，想要证明 到 之间存在一个秘密整数。