超越函数

超越函数(Transcendental Functions)，指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数，主要包括 指数函数 、 对数函数 、正 余弦 函数及其 反函数 、双曲正余弦函数及其反函数等。

17世纪 欧洲 ，科学家们发现函数概念或变量间的关系。1667年J·格雷哥利更明确了代数函数与超越函数的区别。1784年 莱昂哈德·欧拉 把约翰·贝努利给出的函数定义称为 解析函数 ，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的 代数运算 ）和超越函数（ 三角函数 、对数函数以及变量的 无理数 幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数）。

量纲分析里，超越函数是非常有用的，因为它们只在其参数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是 量纲 错误的显着来源。

基本解释

如 对数函数 ， 反三角函数 ， 指数函数 ，等就属于超越函数，如 ， 。它们属于初等函数中的初等超越函数。

超越函数是指那些不满足任何以 多项式 作系数的多项式 方程 的函数。说的更技术一些，单变量函数若为 代数独立 于其变量的话，即称此函数为超越函数。

对数 和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述 三角函数 。

非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数。

一函数的 不定积分 运算是超越函数的丰富来源，如 对数函数 便来自 倒数 函数的不定积分。在 微分代数 里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与 多项式 的合成取不定积分。

在数学领域中，超越函数与代数函数相反，是指那些不满足任何以多项式 方程 的函数，即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程。换句话说，超越函数就是"超出"代数函数范围的函数，也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算。

严格的说，关于变量 的 解析函数 f() 是超越函数，如果该函数是关于变量是 代数独立 的。

对数 和 指数函数 即为超越函数的例子. 超越函数这个名词通常被拿来描述 三角函数 ，例如 正弦 ， 余弦 ， 正割 ，余割， 正切 ， 余切 ， 正矢 ，半正矢等.

非超越函数则称为代数 函数 代数函数的例子有 多项式 和平方根函数.

对代数函数进行 不定积分 运算能够产生超越函数. 如 对数函数 便是在对双曲角围成的面积研究中，对 倒数 函数 = ?x不定积分得到的. 以此方式得到的 双曲函数 sinh， cosh， tanh 都是超越函数。

微分代数 的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数 代数独立 的函数，例如将 三角函数 与多项式的合成取不定积分。

量纲分析

在量纲分析里，超越函数是非常有用的，因为它们只在其参数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是 量纲 错误的显着来源。例如，log(10 m)是个毫无意义的表示式， log(10 m)不同于 log( ) 和 log(3) m，后两者是有实际意义的。利用 对数恒等式 ，将 log(10m)展开为 能够更清晰的说明该问题：一个有量纲的非 代数运算 会产生毫无意义的结果。